Когато философът Зенон от Елея формулира проблема с надбягването, той няма за цел да организира спортно състезание или да забавлява атинската публика. Като последовател на Парменид, неговата единствена цел е да защити тезата, че промяната и движението са чисто сетивно заблуждение, а истинското битие е единно и неподвижно. За да го докаже, той използва метода на свеждане до абсурд: приема хипотезата, че движение съществува, и показва как тя моментално катастрофира в безкрайността.
Логиката на Зенон е желязна за времето си. Костенурката тръгва с преднина от сто метра. Когато Ахил измине тези сто метра, животното вече се е придвижило с десет. Докато той преодолее тези десет метра, костенурката е минала още един. Всеки път, когато бегачът достига точката, където препятствието е било преди малко, то вече се намира малко по-напред. Тъй като този процес може да бъде разделян до безкрай, Зенон твърди, за да застигне костенурката, Ахил трябва да прекоси безкраен брой пространства за крайно време. А това според тогаварните представи е физически и логически невъзможно.
Всеки съвременен наблюдател знае, че при скорост от 10 метра в секунда за бегача и 1 метър в секунда за влечугото, срещата ще се състои точно след 111,11 метра. Проблемът обаче не е в пресмятането на крайния резултат на терен, а в това да се обясни как се събират безкрайно много времеви и пространствени отрязъци, без сумата им да нарасне до безкрайност. Именно тук теорията удря на камък.
За да подсигури тезата си, Зенон конструира цяла серия от сродни капани. В т.нар. "Дихотомия" той твърди, че един обект изобщо не може да започне да се движи, защото преди да измине цялото разстояние, той трябва да измине неговата половина, а преди това — половината от тази половина, което изисква завършването на безкраен брой стъпки още преди първия сантиметър. В "Стрелата" пък атакува концепцията за времето: във всеки отделен физически момент летящата стрела заема точно определено пространство, т.е. се намира в покой. Ако времето се състои от сума от такива моменти на покой, то стрелата всъщност никога не се движи.
Аристотел прави сериозен опит да разбие този интелектуален възел, като въвежда разграничението между потенциална и актуална безкрайност. Според него пространството е делимо до безкрайност само потенциално (в ума ни), но не и съществува като реално съставено от безкраен брой точки. Това обяснение задоволява академичния свят за почти две хиляди години, но то представлява по-скоро философска забрана за поставяне на въпроса, отколкото реално математическо решение. Гърците притежават геометрия на съвършените форми, но нямат апарат за работа с променливи величини и непрекъснати процеси.
Даже архитекти и практици като Архимед, които използват метода на изчерпването за пресмятане на площи и обеми чрез вписване на многоъгълници, спират точно на прага на фундаменталното откритие. В елинската култура концепцията за безкрайното се възприема като хаос и липса на форма — нещо, което трябва да бъде избегнато на всяка цена, вместо да бъде превърнато в инструмент за изчисление.
Реалният пробив изисква радикална смяна на парадигмата и приемането на една идея, която на пръв поглед изглежда парадоксална: че сумата от безкраен брой намаляващи числа може да даде напълно краен и точен резултат. Разстоянието, което Ахил изминава, се описва от математически ред, при който всеки следващ елемент е десет пъти по-малък от предишния. Когато тези елементи намаляват достатъчно бързо, техният сбор се стреми към точно определена граница — в случая 111 и една девета метра.
През XVII век Исак Нютон и Готфрид Лайбниц, работещи независимо един от друг, изграждат основите на това, което днес наричаме висше математическо смятане. Нютон търси начин да опише движението на небесните тела и промяната на скоростта, докато Лайбниц развива формализма на диференциалите и интегралите. Техният нов инструментариум решава практическите проблеми на физиката, но съдържа сериозна пробойна в теорията.
